设函数$f:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$，$a_n(n\in\mathbb{N})$为实数，且对于充分大的$x$，有
$$
f(x)=a_0+\frac{a_1}x+\frac{a_2}{x^2}+\cdots+\frac{a_n}{x^n}+\cdots.
$$
试证：$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty f(n)$收敛的充要条件是$a_0=a_1=0.$
（充分性）
$$
\frac{\dfrac{a_2}{n^2}+\cdots}{\dfrac{1}{n^2}}\to a_2\in\mathbb{R}.
$$
（必要性）由$\sum f(n)$收敛知$\forall\varepsilon\gt0,\exists N\gt0,\forall n\gt N:|f(x)-f_n(x)|\lt\varepsilon$。此式对$x\to\infty$取极限得$\displaystyle \left|\lim_{x\to\infty}f(x)-a_0\right|\lt\varepsilon$。由$\varepsilon$任意性得$\displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=a_0$。于是
$$
\frac{\dfrac{a_1}{n}+\dfrac{a_2}{n^2}+\cdots}{\dfrac{1}{n}}\to a_1\in\mathbb{R},
$$
若$a_1\ne0$，则$\sum f(n)$发散，矛盾。故得证。