一、判断每题5分，共25分。
存在处处不连续但有界的函数。
解 正确。例：$\mathrm{Dirichlet}$函数。
$\mathrm{Riemann}$可积函数一定存在原函数。
解 错误。反例：$f(x):=\mathrm{sgn}\thinspace x$。
级数$\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty a_n}$收敛，则任意加括号，只要不改变其先后次序，所得的新级数仍然收敛。
解 正确。因为收敛数列的子列收敛于相同极限。
函数$|f|$在$[a,b]$上$\mathrm{Riemann}$可积，则函数$f$在$[a,b]$上也$\mathrm{Riemann}$可积。
解 错误。反例：$f(x):=\begin{cases}1,\quad&x\in\mathbb Q\\-1,\quad&x\notin\mathbb Q\end{cases}$。
（多元函数没学，跳过）
二、（20分）（多元函数没学，跳过）
三、（20分）设函数$f(x)$在区间$[0,1]$可导，其值域也是区间$[0,1]$，且存在$0\lt\theta\lt1$，使得$|f’(x)|\leqslant\theta$。证明：$f(x)=x$在$[0,1]$上存在唯一解。
解 存在性：设$g(x):=f(x)-x$。$f(0)\geqslant0$及$f(1)\leqslant1$，由介值定理存在性得证。唯一性：若$g(x_1)=g(x_2)=0$，由$\mathrm{Rolle}$定理，$\exists\xi,\ \mathrm{s.t.}\ f’(\xi)-1=g’(\xi)=0$，矛盾，于是唯一性得证。
四、（20分）用有限覆盖定理证明有限区间$[a,b]$上的连续函数一定一致连续。
解 $\forall x_0\in[a,b],\ \forall\varepsilon\gt0,\ \exists\delta\gt0,\ \forall|x-x_0|\lt\delta:|f(x)-f(x_0)|\lt\varepsilon$.
于是$\displaystyle \left\{(x_0-\delta,x_0+\delta):x_0\in[a,b]\right\}$构成$[a,b]$一开覆盖，因而有有限子覆盖$\{S_n\}$。故对任意$x_1,x_2\in[a,b]$，总能找到相邻的$S_{n_1},S_{n_2}\in\{S_n\}$使得$x_1$和$x_2$分别是$S_{n_1}$和$S_{n_2}$的内点。若$\{x_1,x_2\}\subset S_{n_1}\cap S_{n_2}$，则成立$|f(x_1)-f(x_2)|\lt\varepsilon$；若$x_1,x_2\notin S_{n_1}\cap S_{n_2}$，则取$\xi\in S_{n_1}\cap S_{n_2}$，于是$|f(x_1)-f(x_2)|\leqslant|f(x_1)-f(\xi)|+|f(\xi)-f(x_2)|\lt2\varepsilon$。总之，$|f(x_1)-f(x_2)|\lt2\varepsilon$。由$x_1$和$x_2$的任意性，结论得证。
五、（20分）设可微函数列$\{f_n\}$在$[a,b]$上收敛，$\{f_n’\}$在$[a,b]$上一致有界，证明：$\{f_n\}$在$[a,b]$上一致收敛。
解 设$\displaystyle{M:=\sup_{x\in[a,b]}}f_n’(x)$，对任意$\varepsilon\gt0$，取$h\lt\dfrac\varepsilon{4M}$充分小使得$|f_m(a)-f(a)|\lt\varepsilon$，将区间$[a,b]$分成长度为不大于$h$的小区间，同时取$m,n$充分大使得成立$|f_m(a)-f(a)|\lt\dfrac\varepsilon4$对$x\in[a,a+h]$，成立
$$
\begin{align*}
|f_m(x)-f_n(x)|&\leqslant|f_m(x)-f_m(a)|+|f_m(a)-f(a)|+|f(a)-f_n(a)|+|f_n(a)-f_n(x)|\\
&\lt Mh+\frac\varepsilon4+\frac\varepsilon4+Mh\\
&\lt\varepsilon,
\end{align*}
$$
对于$x\in[a+h,a+2h]$，当$m$和$n$充分大时成立
$$
\begin{align*}
|f_m(x)-f_n(x)|&\leqslant|f_m(x)-f_m(x-h)|+|f_m(x-h)-f(x-h)|+|f(x-h)-f_n(x-h)|+|f_n(x-h)-f_n(x)|\\
&\lt Mh+\frac\varepsilon4+\frac\varepsilon4+Mh\\
&\lt\varepsilon,
\end{align*}
$$
同时递推地对所有小区间均成立。取$m$和$n$大于这所有不等式需要的公共最小值，于是结论得证。
六、（20分）设$a_n\gt0$，且$\sum a_n$收敛，令$r_n=\displaystyle{\sum_{m=n}^\infty}a_m$。（1）证明$\sum \dfrac {a_n} {r_n}$发散；（2）证明$\sum\dfrac{a_n}{\sqrt{r_n}}$收敛。
解 （1）$\displaystyle{\sum\frac{a_n}{r_n}}=\sum\frac{r_n-r_{n+1}}{r_n}=\sum\left(1-\frac{r_{n+1}}{r_n}\right)$。由于$\{r_n\}$是单减正数列，所以由$r_n\to0$及$\mathrm{Sapagof}$判别法，结论得证。
（2）$\displaystyle{\sum\frac{a_n}{\sqrt{r_n}}}\leqslant\sum\int_{r_{n+1}}^{r_{n}}\frac1{\sqrt x}\mathrm dx=\int_0^{r_1}\frac{1}{\sqrt x}\mathrm dx$，由反常积分的$p$判别法，结论得证。
七、（25分）（多元函数没学，跳过）