设$\displaystyle f(x)=\sum_{n=1}^\infty\frac1{n^2\ln(1+n)}x^n$，试证：
$f(x)$在$[-1,1]$上连续；
$f(x)$在$x=-1$处可导；
$\displaystyle \lim_{x\to1-}f’(x)=+\infty$；
$f(x)$在$x=1$处不可导。
由$\displaystyle \overline{\lim_{n\to\infty}}\sqrt{\frac{1}{n^2\ln(1+n)}}=1$，且$\displaystyle \frac{1}{n^2\ln(1+n)}\lt\frac1{n^2}$，因此$f\in C[-1,1]$。
$\displaystyle \left(\frac1{n^2\ln(1+n)}x^n\right)’=\frac1{n\ln(1+n)}x^{n-1}$，式右端构成的级数在$[-1,0]$一致收敛，故$f$在$-1$处存在右导数。
注意到$f$单调$\nearrow$，故取子列
$$
\begin{align*}
f’\left(1-\frac{1}{N-1}\right)&=\left(\sum_{n=1}^N+\sum_{n=N+1}^\infty\right)\frac{1}{n\ln(1+n)}\left(1-\frac{1}{N-1}\right)^{n-1}\\
&\gt\sum_{n=1}^N\frac{1}{n\ln(1+n)}\left(1-\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}
\end{align*}
$$于是
$$
\lim_{N\to\infty}f’\left(1-\frac1{N-1}\right)\geqslant\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n\ln(1+n)}\left(1-\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}
$$又因$\displaystyle\frac{1}{n\ln(1+n)}\left(1-\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}\sim\frac{1}{en\ln(1+n)}$，所以
$$
\lim_{x\to1-}f’(x)=\lim_{N\to\infty}f’\left(1-\frac1{N-1}\right)=+\infty.
$$由第3问结论，成立
$$
\lim_{x\to1-}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1-}f’(\xi)=+\infty.
$$故$1$处不可导。