一、正项级数

部分和有界，级数收敛，否则发散；
$\mathrm{Cauchy}$收敛原理；
根式判别法：$\displaystyle r:=\overline{\lim_{n\to\infty}}\phantom{\sqrt {}}^n\sqrt n$。$r\gt1$发散，$r\lt1$收敛；
比式判别法：若$\displaystyle \overline{\lim_{n\to\infty}}\frac{a_{n+1}}{a_n}\lt1$，收敛；若$\displaystyle \underset {n\to\infty}{\underline{\lim}}\frac{a_{n+1}}{a_n}\gt1$，发散；
$\mathrm{Raabe}$判别法：$\displaystyle r:=\lim_{n\to\infty}n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)$。$r\gt1$收敛，$r\lt1$发散；
$\mathrm{Bertrand}$判别法：$\displaystyle r:=\lim_{n\to\infty}\ln n\left(n\left(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1\right)-1\right)$。$r\gt1$收敛，$r\lt1$发散；
对数判别法1：$\displaystyle r:=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1/a_n)}{\ln n}$。$r\gt1$收敛，$r\lt1$发散；
对数判别法2：$\displaystyle r:=\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(1/na_n)}{\ln\ln n}$，$r\gt1$收敛，$r\lt1$发散；
积分判别法，以及$\{n_k\}\nearrow\infty$，$\displaystyle\sum\int_{n_{k-1}}^{n_k}f(x)\mathrm dx$与$\displaystyle \int_{n_0}^{+\infty}f(x)\mathrm dx$同敛散；
比较判别法及其极限形式（$0$判断收敛，$+\infty$判断发散性）；
子列判别法：部分和子列收敛，则级数收敛；

二、单调$\searrow$正项级数

$\mathrm{Cauchy}$凝聚判别法：$\sum a_n$与$\sum2^na_{2^n}$同敛散；
$\mathrm{Sapagof}$判别法：$a_n\to0\Leftrightarrow\sum(1-\frac{a_n}{a_{n+1}})$发散；
$\mathrm{Abel-Pringsheim}$定理：$a_n\searrow0$，若$\sum a_n$收敛则$na_n\to0$；
$\mathrm{Lobachevskii}$判别法：$a_n\searrow0$，则$\sum a_n$与$\sum p_m2^{-m}$同敛散，其中$p_m:=\max\{n|a_n\geqslant2^{-m}\}$；
$\lambda\leqslant1$，$\sum a_n$与$\sum\frac{a_n}{S_n^\lambda}$同敛散；