- 证明定理$11.1.1$：距离满足正定性、对称性和三角不等式。
证 只证三角不等式。式两端平方，由
$$
\left<\boldsymbol x-\boldsymbol z,\boldsymbol x-\boldsymbol z\right>=\left<\boldsymbol x-\boldsymbol y,\boldsymbol x-\boldsymbol y\right>+2\left<\boldsymbol x-\boldsymbol y,\boldsymbol y-\boldsymbol z\right>+\left<\boldsymbol y-\boldsymbol z,\boldsymbol y-\boldsymbol z\right>
$$
及$\mathrm{Schwarz}$不等式，结论得证。$\square$
- 证明：若$\mathbb R^n$中的点列$\{\boldsymbol x_n\}$收敛，则其极限是唯一的。
证 若$\boldsymbol x_n\to\boldsymbol \xi,\ \boldsymbol x_n\to\boldsymbol\zeta$，则对任意$\varepsilon$，当$n$充分大时成立
$$
|\boldsymbol\xi-\boldsymbol\zeta|\leqslant|\boldsymbol x_n-\boldsymbol\xi|+|\boldsymbol x_n-\boldsymbol\zeta|\lt\varepsilon
$$
由$\varepsilon$的任意性，$\boldsymbol \xi=\boldsymbol \zeta$。$\square$
- 设$\mathbb R^n$中的点列$\{\boldsymbol x_k\}$和${\boldsymbol y_k}$收敛，证明对任何实数$\alpha,\beta$，成立
$$
\lim_{k\to\infty}(\alpha\boldsymbol x_k+\beta\boldsymbol y_k)=\alpha\lim_{k\to\infty}\boldsymbol x_k+\beta\lim_{k\to\infty}\boldsymbol y_k.
$$
证
$$
\left|(\alpha\boldsymbol x_k+\beta\boldsymbol y_k)-\left(\alpha\lim_{k\to\infty}\boldsymbol x_k+\beta\lim_{k\to\infty}\boldsymbol y_k\right)\right|\leqslant|\alpha|\left|\boldsymbol x_k-\lim_{k\to\infty}\boldsymbol x_k\right|+|\beta|\left|\boldsymbol y_k-\lim_{k\to\infty}\boldsymbol y_k\right|\to0.\qquad\square
$$
求下列$\mathbb R^2$中子集的内部、边界与闭包：
（1）$S=\{(x,y)|x\gt0,y\ne0\}$；
（2）$S=\{(x,y)|0\lt x^2+y^2\leqslant1\}$；
（3）$S=\left\{(x,y)|0\lt x\leqslant1,y=\sin\dfrac1x\right\}$。
解 （1）$S^\circ=S,\ \partial S=\{(x,y)|x=0\vee(y=0\land x\geqslant0)\},\ \bar S=\{(x,y)|x\geqslant0\}$；
（2）$S^\circ=\{(x,y)|0\lt x^2+y^2\lt1\},\ \partial S=\{(x,y)| x^2+y^2\in\{0,1\}\},\ \bar S=\{(x,y)|x^2+y^2\leqslant1\}$；
（3）$S^\circ=\varnothing,\ \partial S=S\cup \{(0,y)|y\in[-1,1]\}, \bar S=S\cup \{(0,y)|y\in[-1,1]\}$。$\square$
求下列点集的全部聚点：
（1）$S=\left\{(-1)^k\left.\dfrac k{k+1}\right|k=1,2,\cdots\right\}$；
（2）$S=\left\{\left(\left.\cos\dfrac{2k\pi}{5},\sin\dfrac{2k\pi}{5}\right)\right|k=1,2,\cdots\right\}$；
（3）$S=\{(x,y)|(x^2+y^2)(y^2-x^2+1)\leqslant0\}$。
解 （1）$1,-1$；（2）这是一个有限集，没有聚点；（3）$\{(x,y)|y^2-x^2+1\leqslant0\}$。$\square$
- 证明定理$11.1.3$：$\boldsymbol x$是点集$S$（$\subset\mathbb R^n$）的聚点的充分必要条件是：存在$S$中的点列$\{\boldsymbol x_k\}$，满足$\boldsymbol x_k\ne\boldsymbol x(k=1,2,\cdots)$，且$\displaystyle \lim_{k\to\infty}\boldsymbol x_k=\boldsymbol x$。
证 必要性：因为$\boldsymbol x\in S’$，所以$\forall \delta\gt0,\ \exists \boldsymbol y\in S:0\lt||\boldsymbol x-\boldsymbol y||\lt\delta$。取$\delta_1:=1$，得一$\boldsymbol x_1$；再取$\delta_2:=\dfrac12||\boldsymbol x-\boldsymbol x_1||$，得一$\boldsymbol x_2$。以此类推，取$\delta_n:=\dfrac12||\boldsymbol x-\boldsymbol x_{n-1}||$，得一$\boldsymbol x_n$。于是得满足条件点列。
充分性：由极限的定义，$\forall\varepsilon\gt0$，有无数点在$\boldsymbol x$的$\varepsilon-$邻域内，故$\boldsymbol x\in S’$。$\square$
- 设$U$是$\mathbb R^2$上的开集，是否$U$的每个点都是它的聚点？对于$\mathbb R^2$中的闭集又如何呢？
解 （1）是，因为内点都是聚点；（2）否，还可能有孤立的边界点。$\square$
- 证明$S\subset \mathbb R^n$的所有内点组成的点集$S^\circ$必是开集。
证 当$S\in\{\varnothing,\mathbb R^n\}$时结论平凡。其他情况下，假设$S^\circ$不是开集，则存在$\boldsymbol y\in S$是$S$的孤立边界点，此时$\boldsymbol y$的某邻域$T\in U^\circ(\boldsymbol y)$满足$T\cap S^\circ=\varnothing$和$T\subset S$。这说明$T$中每个点都属于$S^\circ$，矛盾。$\square$
- 证明$S\subset \mathbb R^n$的闭包$\bar S=S\cup S’$必是闭集。
证 先证明$S’’\subset S’$。对任意$\boldsymbol x\in S’’$，$\forall\delta\gt0,\ \exists \boldsymbol y\in S’:||\boldsymbol x-\boldsymbol y||\lt\delta$，同时$\exists\boldsymbol z_1,\boldsymbol z_2,\cdots\in S:||\boldsymbol y-\boldsymbol z_n||\lt\delta$，这说明$||\boldsymbol x-\boldsymbol z_n||\lt2\delta$，于是$\boldsymbol x\in S’$。（另见：谢惠民例题17.1.1）
对任意$\boldsymbol x\in(S\cup S’)’$，$\forall \delta\gt0,\ \exists\boldsymbol y_1,\boldsymbol y_2,\cdots\in S\cup S’:||\boldsymbol y-\boldsymbol x||\lt\delta$，若$S$中有无数个$\boldsymbol y_n$，则$\boldsymbol x\in S’$；若$S’$中有无数个$\boldsymbol y_n$，则$\boldsymbol x\in S’’\subset S’$。总之，$\boldsymbol x\in S’\subset(S\cup S’)$。$\square$
- 设$E,F\subset\mathbb R^n$。若$E$为开集，$F$为闭集，证明：$E-F$为开集，$F-E$为闭集。
证 若$E-F$是闭集，那么$(E-F)\cup F=E$是闭集，矛盾。因此$E-F$是开集。
若$F-E$是开集，那么$(F-E)\cup E=F$是开集，矛盾。因此$F-E$是闭集。$\square$
- 证明$\mathrm{Cantor}$闭区域套定理。
证 沿用闭矩形套定理的证明思路，可证对$\mathbb R^n$中的闭盒序列$\displaystyle D_k:=\prod_{i=1}^n[a_{k_i},b_{k_i}]$成立类似的闭盒套定理。
对每个$S_k$，取两闭盒满足$A_k\subset S_k\subset B_k$，由闭盒套定理有唯一点满足对所有$k$成立$\boldsymbol\xi \in A_k\subset S_k$。存在性得证。
又因为$\boldsymbol \xi\in B_k$，对$B_k$应用闭盒套定理得只有$\boldsymbol\xi$满足对所有$k$成立$\boldsymbol \xi\in B_k$。进而也只有$\boldsymbol \xi$满足对所有$k$成立$\boldsymbol \xi\in S_k$。唯一性得证。$\square$
- 举例说明：满足$\displaystyle \lim_{k\to\infty}|\boldsymbol x_{k+1}-\boldsymbol x_k|=0$的点列$\{\boldsymbol x_k\}$不一定收敛。
证 $x_n:=\ln x$即为一例。$\square$
- 设$E,F\subset\mathbb R^n$为紧集，证明$E\cap F$和$E\cup F$为紧集。
证 设$E$的一个开覆盖为$\{\mathscr E_k\}$，$F$的一个开覆盖为$\{\mathscr F_k\}$，则$\{\mathscr E_k\}\cup\{\mathscr F_k\}$为$E\cup F$的一个开覆盖。$\{\mathscr E_k\}$有有限子覆盖$\{\mathscr E_{k_m}\}$，$\{\mathscr F_k\}$有有限子覆盖$\{\mathscr F_{k_m}\}$，于是$\{\mathscr E_{k_m}\}\cup\{\mathscr F_{k_m}\}$为$\{\mathscr E_k\}\cup\{\mathscr F_k\}$的有限子覆盖。$\square$
- 用定义证明点集$S:=\{0\}\cup\left\{\left.\dfrac1k\right|k=1,2,\cdots\right\}$是$\mathbb R$中的紧集。
证 对每个$S$的开覆盖$\{\mathscr S_k\}$，其至少有一个元素满足$0\in \mathfrak S\in\{\mathscr S_k\}$。显然，存在$U^\circ(0,\delta)\subset\mathfrak S$，于是当$k$充分大时总有$\dfrac1k\in\mathfrak S$，于是找到了有限子覆盖。$\square$
- 应用$\mathrm{Heine-Borel}$定理证明：$\mathbb R^n$上有界无限点集必有聚点。
证 若该点集（记作$S$）有内点，则结论平凡。若无内点，则所有点为边界点，故$S$是有界闭集。假设$S$没有聚点，则$S$中的所有点都是孤立边界点。此时取$S$的这样一个开覆盖，其由$S$中每个点的邻域组成，且这些邻域中只有那个点是$S$中的点。由$\mathrm{Heine-Borel}$定理知有有限子覆盖，但去掉覆盖中的任何一个集合都会使一个点无法被覆盖，矛盾。因此$S$一定有聚点。$\square$