命题：$\mathrm{Euclid}$空间$\mathbb{R}^n$上的闭开集只有$\varnothing$和$\mathbb R^n$。
证明：假设另一个闭开集$S$存在，则成立性质：
$S$的聚点一定是其内点，且内点一定是聚点；
$\mathbb R^n$中没有$S$的孤立（边界）点；
$\mathbb R^n$中没有$S$的非孤立边界点，否则它是$S$的聚点，与性质1矛盾；
$\mathbb R^n$中至少存在S的一个内点和一个外点（若$\boldsymbol x\in\mathbb R^n-S$不是外点，就是边界点，与性质2和3矛盾）。
由性质4，记$S$的一个外点为$\boldsymbol y$，则由于至少存在一个内点$\boldsymbol x_0$，所以集合$D:=\{||\boldsymbol y-\boldsymbol x||:\boldsymbol x\in S,||\boldsymbol y-\boldsymbol x||\leqslant||\boldsymbol y-\boldsymbol x_0||\}$有界，由确界定理有下确界$\ell:=\inf D\in(0,+\infty)$。作球面$P:=\{\boldsymbol x\in\mathbb R^n:||\boldsymbol y-\boldsymbol x||=\ell\}$，任取$\boldsymbol p\in P$，若$\boldsymbol p\in S$，则由于球中无$S$的点，所以$\boldsymbol p$是$S$的边界点，与性质2和3矛盾；若$\boldsymbol p\notin S$，则由下确界的性质成立$\forall\varepsilon\gt0,\ \exists \boldsymbol x\in S:||\boldsymbol y-\boldsymbol x||\lt\ell+\varepsilon$，这说明$\boldsymbol p$是$S$的聚点，进而是内点（性质1），与$\boldsymbol p\notin S$矛盾。故假设不成立，命题得证。$\square$
另见
谢惠民例题17.2.2。