南开大学 $f(x)$在$[0,+\infty)$上连续、单调递减，$\displaystyle \int_0^{+\infty}x^3f(x)\mathrm dx$收敛。证明：
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\left(\int_0^{+\infty}x^2f(x)\mathrm dx\right)^2\leqslant\frac89\int_0^{+\infty}xf(x)\mathrm dx\int_0^{+\infty}x^3f(x)\mathrm dx.
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大连理工大学 设$f(x)$在$[0,1]$上连续，$\displaystyle \int_0^1f(x)\mathrm dx=0$。求证：
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\left(\int_0^1xf(x)\mathrm dx\right)^2\leqslant\frac1{12}\int_0^1f^2(x)\mathrm dx.
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中国人民大学 $p(x)$在$[a,b]$非负且连续，$f(x),g(x)$在$[a,b]$上连续、单调递增。证：
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\int_a^bp(x)f(x)\mathrm dx\int_a^bp(x)g(x)\mathrm dx\leqslant\int_a^bp(x)\mathrm dx\int_a^bp(x)f(x)g(x)\mathrm dx.
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答案：
上海财经大学 设$f(x)$在$[0,1]$可微，$0\lt f’(x)\lt1$，且$f(0)=0$。证明：对任意的$a\in(0,1)$有
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\left(\int_0^af(x)\mathrm dx\right)^2\gt\int_0^af^3(x)\mathrm dx.
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答案：