引论
（如果你没有裴礼文的书，可直接跳到题目部分。）
裴礼文例6.4.9、6.4.10和习题6.4.23都在讨论向量函数$\mathrm{Jacobi}$行列式为$0$的问题。然而，这三题的参考答案都或多或少出现了一些漏洞。对比例6.4.9和6.4.10可以发现，这两题书上用了两种不同的方法进行证明，然而6.4.10的证明方法是错的，原因是向量函数不成立中值定理。这导致同样使用这一方法的习题6.4.23过程也是错的。事实上，我的课程助教给出了一个反例，能够直接说明甚至例6.4.10的结论也是错的：
$$
D=[1,2]\times[0,3\pi]，\qquad \begin{cases}u(x,y):=x\cos y\\v(x,y):=x\sin y\end{cases}.
$$
而对于例6.4.9而言，证明结尾处也有一定问题。根据线性代数/高等代数的知识，由某个$X$满足$X’AX=0$并不能说明$\det A=0$，实际上矛盾点在于$A$正定可以推出对任意非零$X$都成立$X’AX\gt0$。那么由例6.4.9的“连线”方法，引出其在向量函数上的推广来解决习题6.4.23，作为它的勘误。
裴礼文习题6.4.23 设函数组$\begin{cases}u=u(x,y),\\v=v(x,y),\end{cases}\qquad(x,y)\in\mathbb R^2$中的函数$u,v$有处处连续的一阶偏导数，记$W=(u,v),P=(x,y)$，当$|W|=\sqrt{u^2+v^2},|P|=\sqrt{x^2+y^2}$时，存在数$C\gt0$，使得对于任意的$P_1\in\mathbb R^2,P_2\in\mathbb R^2$，成立不等式
$$
|W_2-W_1|\geqslant C|P_2-P_1|,
$$
这里$W_i$为与$P_i$相对应的点$(i=1,2)$。试证：$\mathrm{Jacobi}$行列式$\dfrac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\neq0,\forall(x,y)\in\mathbb R^2$。
证 根据中值定理，成立
$$
\begin{align*}
|W_2-W_1|^2&=\left(\dfrac{\partial u}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial u}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\right)^2+\left(\dfrac{\partial v}{\partial x}\Delta x+\frac{\partial v}{\partial y}\Delta y+o(\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y)^2})\right)^2\\
&=(\Delta x,\Delta y)\left(
\begin{matrix}
\dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial x} \\
\dfrac{\partial u}{\partial y} & \dfrac{\partial v}{\partial y}
\end{matrix}
\right)\left(
\begin{matrix}
\dfrac{\partial u}{\partial x} & \dfrac{\partial u}{\partial y} \\
\dfrac{\partial v}{\partial x} & \dfrac{\partial v}{\partial y}
\end{matrix}
\right)\left(
\begin{matrix}
\Delta x\\
\Delta y
\end{matrix}
\right)+o\left({(\Delta x)^2+(\Delta y)^2}\right),
\end{align*}
$$
于是得$\boldsymbol J’\boldsymbol J$正定，得$|\boldsymbol J|^2=|\boldsymbol J’\boldsymbol J|\neq0$，结论自然得证。$\square$