引子
最近笔者正在做重积分的练习，觉得和一元积分的一大区别就是需要更强的想象力，因为重积分中的很多概念（比如两张平面所“包围”的面积）都是在几何上定义的，而空间中的一些图形在纸张上并不容易被表示出来。因此笔者一直在探寻在这一部分减少几何、增加代数的方法。比如变量代换的问题中，通过对原积分限在一个变换下的新形式的足够充分的讨论，一般情况下是可以在不画图的情况下确定新积分限的。但对于交换积分次序这一问题，由于变量之间的互相牵涉，我们不太容易用变量代换的方法去处理它。于是笔者通过检索文献，发现了一个较为通用的解决交换积分次序的方法。
二重积分的积分限一般可以在纸上画图来描述，所以本文只讨论三重积分，而即将介绍的方法正是借助这一特点来化简问题的。
方法
一篇文献中提到“三重积分换序轮换定理”：对于任意给出的三重积分的积分次序，总可以通过不超过3次轮换变为指定的积分次序。 这个定理是平凡的，因为它就是一个排列组合问题。例如，如果想将$\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz$变成$\mathrm dz\mathrm dy\mathrm dx$，只需进行如下变换：
$$
\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz\to\mathrm dx\mathrm dz\mathrm dy\to\mathrm dz\mathrm dx\mathrm dy\to\mathrm dz\mathrm dy\mathrm dx.
$$
这是最繁琐的情况，共进行了三次轮换。所以剩下的问题就归结为如何进行这样的轮换，即如何交换相邻的两个积分变量。这很简单，因为我们都熟知二重积分交换次序的方法：只需在纸上画出图即可（或者通过代数形式的分析也可以）。所以，若要交换内层的两个变量，即
$$
\iiint f\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\iiint f\mathrm dy\mathrm dx\mathrm dz
$$
这种情况，我们应将原积分用“先二后一”（截面法）拆为一个二重积分和一个一元积分，然后用二重积分交换次序的方法来解决；若要交换外层的两个变量，即
$$
\iiint f\mathrm dx\mathrm dy\mathrm dz=\iiint f\mathrm dx\mathrm dz\mathrm dy
$$
这种情况，我们用“先一后二”（投影法）拆为一个一元积分和一个二重积分，然后解决。这就解决了这类问题。
例题
下面以一道题为例说明这个方法的具体应用。
裴礼文习题7.2.11 改变三重积分$\displaystyle I=\int_0^1\mathrm dx\int_0^x\mathrm dy\int_0^{xy}f(x,y,z)\mathrm dz$的积分次序：(1) 先$y$后$z$再$x$；(2) 先$x$后$z$再$y$。
裴礼文上对这道题的提示是两张立体图，可以理解但较为繁琐，此处用本文的方法来解题。
对于(1)，先确定变换$\mathrm dz\mathrm dy\mathrm dx\to\mathrm dy\mathrm dz\mathrm dx$，即需进行一次内层两变量的交换。于是分析$yOz$平面的情况，发现对于每个取定的$x$，积分限$[0,x]\times[0,xy]$是斜率为$x$的直线$z=xy$与$z=0$和$y=x$围成的三角形（此时读者可以在纸上画出对应的图形），因此有
$$
\begin{cases}
0\leqslant y\leqslant x\\
0\leqslant z\leqslant xy
\end{cases}
\to
\begin{cases}
0\leqslant z\leqslant x^2\\
\dfrac zx\leqslant y\leqslant x^2
\end{cases},
$$
立得
$$
I=\int_0^1\mathrm dx\int_0^{x^2}\mathrm dz\int_{z/x}^{x^2}f(x,y,z)\mathrm dz.
$$
对于(2)，确定变换为$\mathrm dz\mathrm dy\mathrm dx\to\mathrm dz\mathrm dx\mathrm dy\to\mathrm dx\mathrm dz\mathrm dy$，对于第一次变换，$xOy$平面上的积分限依然是三角形，因此我们仿照(1)中的过程即可得到
$$
I=\int_0^1\mathrm dy\int_y^1\mathrm dx\int_0^{xy}f(x,y,z)\mathrm dz.
$$
下面进行第二次变换。虽然过程稍微多一些，但仍然很容易确定$xOz$平面上的积分限是四条直线$x=y$，$x=1$，$z=0$，$z=yx$所围成的直角梯形。为了化为先对$x$后对$z$的积分，我们在$xOz$平面上用直线$z=y^2$将积分限分割成两个部分，一部分是矩形，一部分是三角形，即
$$
I=\int_0^1\mathrm dy\left(\int_0^{y^2}\mathrm dz\int_y^1f(x,y,z)\mathrm dx+\int_{y^2}^y\mathrm dz\int_{z/y}^1f(x,y,z)\mathrm dx\right).
$$
这就解决了这一题。可以发现，在这一方法中，我们只画了两个三角形，和一个直角梯形，无需想象三维空间中$z=xy$曲面的形状，也无需观察整个积分限。只需要一次考虑一个二重积分，问题就能轻松解决。
由于文中介绍的方法相关文献太多，而且大量重复，所以此处不加注引用来源。