命题1 (Heine) 设$\boldsymbol x_0\in\mathbb R^n$，$f:U^\circ(\boldsymbol x_0,\delta_0)\to\mathbb R$，则$\displaystyle \lim_{\boldsymbol x\to\boldsymbol x_0}f(\boldsymbol x)\overset{\exists}{=}L$的充要条件是对任意$U^\circ(\boldsymbol x_0,\delta_0)\supset\{\boldsymbol x_n\}\to\boldsymbol x_0$，成立$\displaystyle\lim_{n\to\infty}f(\boldsymbol x_n)\overset\exists=L$。
证明与$\mathrm{Heine}$定理的证明过程完全相同，从略。
推论1 设$x_0\in\mathbb R^n$，$f:U^\circ(\boldsymbol x_0,\delta_0)\to\mathbb R$，则$f$在$\boldsymbol x_0$处收敛的充要条件是对任意$U^\circ(\boldsymbol x_0,\delta_0)\supset\{\boldsymbol x_n\}\to\boldsymbol x_0$，$\{f(\boldsymbol x_n)\}$收敛。
证 必要性由命题1易得。充分性：假设符合条件的两$\{f(\boldsymbol x_n)\}$和$\{f(\boldsymbol y_n)\}$收敛于不同极限$L_1\ne L_2$，定义新数列
$$
\boldsymbol z_n:=\begin{cases}\boldsymbol x_n,\qquad &n=2k-1\\\boldsymbol y_n.\qquad &n=2k\end{cases},
$$
于是$\{\boldsymbol z_n\}\to\boldsymbol x_0$，但$\{f(\boldsymbol z_n)\}$极限不存在，矛盾。$\square$
命题2 (Cauchy) 设$\boldsymbol x_0\in\mathbb R^n$，$f:U^\circ(\boldsymbol x_0,\delta_0)\to\mathbb R$，则$f$在$\boldsymbol x_0$处收敛的充要条件是成立：
$$
\forall\varepsilon\gt0,\ \exists\delta\gt0,\ \forall \rho(\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2)\in(0,\delta):\rho(f(\boldsymbol x_1),f(\boldsymbol x_2))\lt\varepsilon.
$$
证1 必要性：因为$f$在$\boldsymbol x_0$收敛，所以
$$
\forall\varepsilon\gt0, \ \exists\delta\gt0,\ \forall \rho(\boldsymbol x, \boldsymbol x_0)\lt\delta:\rho(f(\boldsymbol x),f(\boldsymbol x_0))\lt\varepsilon/2,
$$
于是
$$
\rho(f(\boldsymbol x_1),f(\boldsymbol x_2))\leqslant\rho(f(\boldsymbol x_1),f(\boldsymbol x_0))+\rho(f(\boldsymbol x_2),f(\boldsymbol x_0))\lt\varepsilon.
$$
充分性：对每个$\{\boldsymbol x_n\}\to\boldsymbol x_0$，当$n$充分大时满足条件，因而$\{f(\boldsymbol x_n)\}$是$\mathrm{Cauchy}$数列，由推论1，结论得证。$\square$
证2 必要性同证1。充分性：设
$$
m(\delta):=\inf\{f(\boldsymbol x):\boldsymbol x\in U^\circ(\boldsymbol x_0,\delta)\},\\
M(\delta):=\sup\{f(\boldsymbol x):\boldsymbol x\in U^\circ(\boldsymbol x_0,\delta)\}.
$$
由
$$
|f(\boldsymbol x_1)-f(\boldsymbol x_2)|\lt\varepsilon\Rightarrow
0\leqslant M(\delta)-m(\delta)\leqslant\varepsilon,
$$
取一列$\{\delta_n\}\searrow0$，由致密性原理存在
$$
\lim_{n\to\infty}m(\delta_n)=L=\lim_{n\to\infty}M(\delta_n).
$$
故成立
$$
|f(\boldsymbol x_1)-f(\boldsymbol x_2)|\lt\varepsilon\Rightarrow f(\boldsymbol x)\leqslant m(\delta_0)+\varepsilon\leqslant m(\delta_n)+\varepsilon,
$$
式两侧关于$n$取极限即得$f(\boldsymbol x)\leqslant L+\varepsilon$。同理得$f(\boldsymbol x)\geqslant L-\varepsilon$，于是
$$
\lim_{\boldsymbol x\to\boldsymbol x_0}f(\boldsymbol x)=L.
$$
结论得证。$\square$
裴礼文例6.1.32 设$f(\boldsymbol x)$在$\mathbb R^n$中的有界开区域$D$内连续。试证：$f(\boldsymbol x)$在$D$内一致连续的充要条件是$\forall \boldsymbol x_0\in\partial D$，$\displaystyle\lim\limits_{\boldsymbol x\to \boldsymbol x_0\atop \boldsymbol y\to\boldsymbol y_0}f(\boldsymbol x)$存在。
证 充分性：可将函数连续延拓至闭区域$\overline D$，再使用多元函数一致连续的$\mathrm {Cantor}$定理即可。
必要性：每个边界点处满足命题2条件，因此极限存在。$\square$
另见
谢惠民命题4.2.4；
陈纪修习题11.3.8。